Uma definição para raiz n-ésima de um número real

O estudo de raízes quadradas, cúbicas, etc. é considerado elementar. Porém, quando perguntamos, por exemplo, quanto vale Latex formula, muitos estudantes têm dúvida quanto a resposta.  Alguns respondem 2, outros Latex formula.  A justificativa para essas respostas está no fato de que Latex formula.

Assim, para os que disserem que Latex formula, podemos perguntar:  por que não é -2, visto que  Latex formula  também vale 4?

Para os que disserem que Latex formula, podemos contrapor afirmando: se Latex formula,  então Latex formula,  logo,         Latex formula  seria  igual Latex formula.

Com isso, percebemos que só o fato de Latex formula não é suficiente para apresentarmos, com justificativa, uma resposta para Latex formula. Diante disso, necessitamos de uma boa definição para uma raiz. A seguir, apresentamos uma definição, não apenas para a raiz quadrada, mas para uma raiz n-ésima real de um número de qualquer número real, ou seja, uma definição que nos permita decidir sobre o valor da raiz real, de qualquer índice inteiro e positivo, de número real.

Definição:  Sejam Latex formula um número real e Latex formula um número inteiro positivo. Dizemos que a raiz n-ésima real de Latex formula, denotada por Latex formula, existe e vale Latex formula, se as duas condições, a seguir, forem verdadeiras:

i) Latex formula ;

ii) Latex formula .

De acordo com essa definição Latex formula. De fato:   i) Latex formulaii) Latex formula .

Observe que  Latex formula não pode ser Latex formula. Pois, apesar da primeira condição ser verdadeira,  Latex formula , a segunda condição não, ou seja, Latex formula.

Algumas observações:

1) De acordo com a definição apresentada, nem todos os números reais possuem raiz real. Isso ocorre quando não existe nenhum número real tal que Latex formulaA raiz de qualquer número real existe sempre que o índice for ímpar. Porém, quando índice for par só existirá raiz real de números positivos. Por exemplo, não existe Latex formulapois o quadrado de qualquer número é sempre positivo, logo não poderia ser -16.

2) Nem todas as raízes podem ser calculadas, ou seja, expressa de uma forma mais simples que as apresentadas com os radicais. Porém, isso não significa que a raiz não existe, apenas que essa raiz não pode ser expressa em forma de um número inteiro ou racional. Nesses casos, a própria expressão (com uso do radical) representa o número, e esse número é chamado número irracional. Por exemplo, Latex formulaLatex formulaLatex formula, etc.

Algumas considerações: Apesar da definição apresentada não fazer nenhuma relação direta com algum objeto prático, ela poderá fundamentar/formalizar o conceito de raiz quadrada, cúbica, etc. que apresentada a alunos que estão começando a ter contato com conceitos mais abstratos. Diante dessa situação, gostaria de enfatizar a necessidade de um ensino com significado. E, ao contrário que muitas pessoas pensam, a produção de significado não precisa ser, necessariamente, fundamentada sobre algum objeto concreto. Muitas vezes (com um pouco de ousadia poderia dizer, na maioria das vezes) a produção de significado pode/deve ser feita com o uso da própria matemática. Com efeito, a produção de significado acontece sempre que as afirmações, no caso dentro da matemática, são justificadas com base em algo que é de conhecimento do indivíduo. Portanto, essa postagem busca corroborar com estudantes que não se sentem confortáveis em aceitar passivamente (sem que seja lhes dada uma justificativa plausível) de conteúdos que lhes são ensinados.